精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對稱．一曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若點(diǎn)F(1，
3
2
)是曲線E上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．
分析：（1）設(shè)P（x，y），由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
3
2
+
(
3
2
)2+4
=4＞2=|AB|，知動點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，b=
3
，由此能求出曲線E的方程．
（2）設(shè)P（x0，y0）是曲線E上的任意一點(diǎn)，則有
x02
4
+
y02
3
=1，y02=3(1-
x02
4
)．由橢圓的對稱性設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即0＜x0≤2，則kPS=
y0+
3
x0
，kPT=
y0-
3
x0
，由到角公式得tan∠SPT=
kPS-kPT
1+kPS•kPT
=
y0+
3
x0
-
y0-
3
x0
1+
y0+
3
x0
•
y0-
3
x0
=
2
3
x0
x02+y02-3
=
2
3
x0
x02-
3
4
x02
=
8
3
x0
＞0．由此能求出∠SPT的最小值．
（3）由M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+
3
2
．由
y=k(x-1)+
3
2
x2
4
+
y2
3
=1
得（4k2+3）x2-4k（2k-3）x+4k2-12k-3=0．由此能夠推導(dǎo)出直線MN的斜率為定值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=
3
2
+
(
3
2
)2+4
=4＞2=|AB|…（1分）
∴動點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，b=
3
…（2分）
∴動點(diǎn)P的軌跡方程即曲線E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（3分）
（2）設(shè)P（x0，y0）是曲線E上的任意一點(diǎn)，則有
x02
4
+
y02
3
=1，∴y02=3(1-
x02
4
)
由橢圓的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即0＜x0≤2
則kPS=
y0+
3
x0
，kPT=
y0-
3
x0
，由到角公式得…（4分）tan∠SPT=
kPS-kPT
1+kPS•kPT
=
y0+
3
x0
-
y0-
3
x0
1+
y0+
3
x0
•
y0-
3
x0
=
2
3
x0
x02+y02-3
=
2
3
x0
x02-
3
4
x02
=
8
3
x0
＞0
∴∠SPT為銳角…（6分）
∵0＜x0≤2，∴當(dāng)x0=2時，(tan∠SPT)min=4
3
…（7分）
∴∠SPT的最小值為arctan4
3
…（8分）
（3）∵M(jìn)，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，且直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，則直線FM，F(xiàn)N的斜率存在且不為零．
設(shè)直線FM的方程為y=k(x-1)+
3
2

由
y=k(x-1)+
3
2
x2
4
+
y2
3
=1
消y，整理得（4k2+3）x2-4k（2k-3）x+4k2-12k-3=0①…（10分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），又F(1，
3
2
)是直線FM與橢圓的交點(diǎn)，∴方程①的兩根為1，x1
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1=
4k2-12k-3
4k2+3
②…（11分）
∵直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，∴直線FN的斜率為-k，
以-k代替②中的k得x2=
4k2+12k-3
4k2+3
…（12分）
又y1=k(x1-1)+
3
2
，y2=-k(x2-1)+
3
2
∴y1-y2=k(x1+x2-2)=k•(
8k2-6
4k2+3
-2)=
-12k
4k2+3

而x1-x2=
-24k
4k2+3
，∴y1-y2=
1
2
(x1-x2)
∴直線MN的斜率為定值，其定值為
1
2
…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，則AC的長為（　�。�
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直徑AC的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于點(diǎn)P．
（1）若AE=CD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：直線MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
．DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)
DM
DN
=λ，試確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（　�。�
A、（0，
3
]
B、（
2
2
，2]
C、（
3
，2
3
]
D、（2，4]

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