Question

某次數(shù)學(xué)測驗共有10道選擇題，每道題共有四個選項，且其中只有一個選項是正確的，評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每選對1道題得5分，不選或選錯得0分．某考生每道題都選并能確定其中有6道題能選對，其余4道題無法確定正確選項，但這4道題中有2道題能排除兩個錯誤選項，另2道只能排除一個錯誤選項，于是該生做這4道題時每道題都從不能排除的選項中隨機選一個選項作答，且各題作答互不影響．
（Ⅰ）求該考生本次測驗選擇題得50分的概率；
（Ⅱ）求該考生本次測驗選擇題所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)選對一道“能排除2個選項的題目”為事件A，選對一道“能排除1個選項的題目”為事件B，該考生選擇題得50分的概率為P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）該考生所得分?jǐn)?shù)X=30，35，40，45，50，分別求出P（X=30），P（X=35），P（X=40），P（X=45），P（X=50），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)選對一道“能排除2個選項的題目”為事件A，
選對一道“能排除1個選項的題目”為事件B，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，
該考生選擇題得50分的概率為：
P（A）P（A）P（B）P（B）=(

1

2

)2•(

1

3

)2=

1

36

．
（Ⅱ）該考生所得分?jǐn)?shù)X=30，35，40，45，50，
P（X=30）=(

1

2

)2(1-

1

3

)2=

1

9

，
P（X=35）=

C

1 2

(

1

2

)2(

2

3

)2+(

1

2

)2•

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

1

3

，
P（X=40）=(

1

2

)2(

2

3

)2+

C

1 2

(

1

2

)2

C

1 2

•

1

3

•

1

2

+(

1

2

)2(

1

3

)2=

13

36

，
P（X=45）=

C

1 2

(

1

2

)2(

1

3

)2+(

1

2

)2

C

1 2

•

1

3

•

2

3

=

1

6

，
P（X=50）=(

1

2

)2(

1

3

)2=

1

36

，
∴X的分布列為：

X	30	35	40	45	50
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36

EX=30×

1

9

+35×

1

3

+40×

13

36

+45×

1

6

+50×

1

36

=

115

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必考題型．