Question

8．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，求函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，$f′（x）=\frac{[x-（a-1）]（x-1）}{x}$，要判斷f′（x）的符號(hào)，從而需討論a-1和1的關(guān)系：分a-1≤0，0＜a-1＜1，a-1=1，和a-1＞1四種情況，然后根據(jù)二次函數(shù)的符號(hào)分別判斷出f′（x）的符號(hào)，從而在每種情況里得出原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：$f′（x）=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{{x}^{2}-ax+a-1}{x}$=$\frac{[x-（a-1）]（x-1）}{x}$；
∴①a-1≤0，即a≤1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
②0＜a-1＜1，即1＜a＜2時(shí)，x∈（0，a-1），x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減；
③a-1=1時(shí)，f′（x）≥0，則：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④a-1＞1，即a＞2時(shí)，x∈（0，1），（a-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，a-1）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在[1，a-1]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，二次函數(shù)的取值和對應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系，注意對a的討論要全面，不要漏了a-1≤0的情況．