Question

已知拋物線C：x²=2py，的焦點(diǎn)為F，△ABQ的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C上，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

QF

=3

FM

（1）若M（-

2 2

3

，

2

3

），求拋物線C方程；
（2）若P＞0的常數(shù)，試求線段|AB|長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），根據(jù) 

QF

=3

FM

，求得Q（2

2

，2p-2）．再把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線C：x²=2py，求得p的值，可得拋物線C的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由

QF

=3

FM

，求得 k²=-

2m

5p

+

4

15

．由△＞0、k²≥0，求得m的范圍，利用弦長公式求得|AB|=

k2+1

•|x₁-x₂|=

24

15

-m2+3pm+ 19p2 36

，根據(jù)函數(shù)f（m）=-m²+3pm+

19p2

36

在（-

p

6

，

2p

3

]上是增函數(shù)，求得f（m）的最大值，可得|AB|的最大值．

解答： 解：（1）由題意可得F（0，

p

2

），設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），
∵M(jìn)（-

2 2

3

，

2

3

），

QF

=3

FM

，
∴（-x₀，

p

2

-y₀）=3（-

2 2

3

，

2

3

-

p

2

），
求得

x0=2 2 y0=2p-2

，故Q（2

2

，2p-2）．
把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線C：x²=2py，求得p=2，
或p=-1（舍去），
故拋物線C：x²=4y．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2=2py

 得 x²-2pkx-2pm=0，
于是△=4p²•k²+8pm＞0，x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-2pm，
所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（pk，pk²+m）．
由

QF

=3

FM

，可得 （-x₀，

p

2

-y₀）=3（pk，pk²+m-

p

2

），
所以，

x0=-3pk y0=2p-3pk2-3m

，由x02=2py₀ 得 k²=-

2m

5p

+

4

15

．
由△＞0、k²≥0，求得-

p

6

＜m≤

2p

3

，
∵|AB|=

k2+1

•|x₁-x₂|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=2

(k2+1)(p2•k2+2pm)

=

24

15

-m2+3pm+ 19p2 36

，
由于函數(shù)f（m）=-m²+3pm+

19p2

36

 在（-

p

6

，

2p

3

]上是增函數(shù)，
故f（m）的最大值為f（

2p

3

）=

75p2

36

，故|AB|的最大值為

24

15

×

75p2 36

=

4 3 p

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，韋達(dá)定理、弦長公式、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．