Question

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為B（-2，0），C（2，0），周長(zhǎng)為12．
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡G方程；
（2）若直線y=

1

2

x與點(diǎn)A的軌跡G交于M、N兩點(diǎn)，求△BMN的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫(xiě)出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)．
（2）由

x2  16 + y2 12 =1 y=  1 2 x

，解得M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

），故|MN|=

(4 3 )2 +(2 3 )2

=2

15

，由B（-2，0）到直線y=

1

2

x的距離d=

|-2-0|

5

=

2 5

5

，能求出△BMN的面積．

解答：解：（1）∵△ABC的兩頂點(diǎn)B（-2，0），C（2，0），周長(zhǎng)為12，∴BC=4，AB+AC=8，
∵8＞4，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，
∵2a=8，2c=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

16

+ 

y2

12

=1(y≠0)．
（2）由

x2  16 + y2 12 =1 y=  1 2 x

，得3x²+4（

1

2

x）²=48，
∴4x²=48，x²=12，
解得x1=2

3

， x2=-2

3

，
∴y1=

3

， y2=  -

3

，
∴M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

）
∴|MN|=

(4 3 )2 +(2 3 )2

=2

15

，
∵B（-2，0）到直線y=

1

2

x的距離d=

|-2-0|

5

=

2 5

5

，
∴△BMN的面積S=

1

2

×2

15

×

2 5

5

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．