Question

已知函數(shù)f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   [1，+∞）
3. C.
   （2，+∞）
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

C
分析：由已知條件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一個(gè)增函數(shù)，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，則 lga=-lgb，再化簡(jiǎn)整理即可求解；或采用線性規(guī)劃問(wèn)題處理也可以．
解答：（方法一）因?yàn)閒（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨設(shè)0＜a＜b，則0＜a＜1＜b，∴l(xiāng)ga=-lgb，lga+lgb=0
∴l(xiāng)g（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
故選C．

（方法二）由對(duì)數(shù)的定義域，設(shè)0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，
整理得線性規(guī)劃表達(dá)式為：，
因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求z=x+y的取值范圍問(wèn)題，則z=x+y?y=-x+z，即求函數(shù)的截距最值．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）時(shí)z有最小為2（因?yàn)槭情_(kāi)區(qū)域，所以取不到2），
∴a+b的取值范圍是（2，+∞）．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視a的取值范圍，根據(jù)條件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a²+b²≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）列出關(guān)系式（a+b）²＞4ab=4，進(jìn)而解決問(wèn)題．