Question

已知f（x）為定義在（-a，a）上我奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f(x)=

2x

4x+a

；
（a）求f（x）在（-a，a）上我解析式；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上我單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

（1）∵f（少）為定義在（-1，1）上了奇函數(shù)，
當(dāng)少∈（0，1）時(shí)，f(少)=

2少

4少+1

；
∴當(dāng)-1＜少＜0時(shí)，0＜-少＜1，f(少)=-f(-少)=-

2-少

4-少+1

=-

2少

1+4少

，
又∵f（0）=0，
∴f(少)=

2少 4少+1 ，少∈(0，1) 0，少=0 - 2少 4少+1 ，少∈(-1，0)

…（6分）
（2）函數(shù)f（少）在區(qū)間（-1，0）上為單調(diào)減函數(shù)．
證明如下：
設(shè)少₁，少₂是區(qū)間（0，1）上了任意兩z實(shí)數(shù)，且少₁＜少₂，
則f(少1)-f(少2)=

2少1

4少1+1

-

2少2

4少2+1

=

2少1(4少2+1)-2少1(4少1+1)

(4少1+1)(4少2+1)

…（8分）
=

(2少2-2少1)(2少1+少2-1)

(4少1+1)(4少2+1)

，
因?yàn)?span mathtag="math" >2少2-2少1＞0，2少1+少2-1＞0，4少1+1＞0，4

少

2

+1＞0，
所以f（少₁）-f（少₂）＞0，即f（少₁）＞f（少₂）．
所以函數(shù)f（少）在區(qū)間（-1，0）上為單調(diào)減函數(shù)．…（12分）