Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=16，點(diǎn)P（1，2），若M，N為圓O上不同的兩點(diǎn)，且PM⊥PN，則MN的取值范圍是[3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 如圖所示，當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時(shí)，|MN|取得最小值或最大值，求出M的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時(shí)，|MN|取得最小值或最大值．
設(shè)k_PM=k，∵∠QPM=45°，∴$\frac{2-k}{1+2k}$=1，解得k=$\frac{1}{3}$．
∴直線(xiàn)PM的方程為：y-2=$\frac{1}{3}$（x-1），化為x-3y+5=0，
代入圓 的方程，化為10y²-30y+9=0，
解得y=$\frac{15+3\sqrt{15}}{10}$或y=$\frac{15-3\sqrt{15}}{10}$．
∴x=3y-5=$\frac{9\sqrt{15}-5}{10}$或$\frac{-9\sqrt{15}-5}{10}$．
∵M(jìn)N=$\sqrt{2}$PM
∴MN_min=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，MN_max=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$．
故答案為：[3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行四邊形法則和矩形的定義、滿(mǎn)足一定條件取得最小值的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了計(jì)算能力，屬于難題．