Question

15．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥1}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則z=（x-1）²+（y-1）²的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用z=（x-1）²+（y-1）²的幾何意義求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥1}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

z=（x-1）²+（y-1）²的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（1，1）距離的平方，
由圖可知可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（1，1）距離的最小值為P到直線x-y-1=0的距離，等于$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴z=（x-1）²+（y-1）²的最小值是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．