Question

4．已知函數(shù)f（x）=4^x+k•2^x+1，m（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$
（1）當(dāng)k=-4時，求函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（2）判斷m（x）的奇偶性，并利用定義證明函數(shù)m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)g（x）=|$\frac{f（x）}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|，若存在x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，使得g（x₁），g（x₂），g（x₃）為三邊長的三角形不存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把k=-4代入解析式，設(shè)2^x=t并求出t的范圍，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在[0，2]上的最小值；
（2）求出m（x）的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明即可；
（3）根據(jù)構(gòu)成三角形的條件將已知條件轉(zhuǎn)化為：2g（x）_min≤g（x）_max，利用分離常數(shù)法化簡g（x），設(shè)t=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，由基本不等式和x的范圍求出t的范圍，代入原函數(shù)化簡后，分k＞1、k=1、k＜1三種情況，根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，列出不等式求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=4^x-4•2^x+1，
設(shè)t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]，
原函數(shù)變?yōu)椋簓=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∴當(dāng)t=2時，函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值是-3；
（2）函數(shù)m（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$的定義域是R，
∵m（-x）=2^-x+$\frac{1}{{2}^{-x}}$=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=m（x），∴m（x）是偶函數(shù)，
設(shè)0＜x₁＜x₂，
則m（x₁）-m（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-（${2}^{{x}_{2}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）
=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴${1＜2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，則${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$，
∴m（x₁）-m（x₂）＜0，則m（x₁）＜m（x₂），
所以函數(shù)m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由題意知：x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，使得g（x₁）+g（x₂）≤g（x₃），
即2g（x）_min≤g（x）_max，
g（x）=|$\frac{f（x）}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|=|$\frac{{4}^{x}+k•{2}^{x}+1}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$=|$1+\frac{（k-1）{•2}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$|
=|1+$\frac{k-1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1}$|，
令t=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$是取等號，此時x=0，
代入g（x）可得：y=|1+$\frac{k-1}{t+1}$|，
∵x₁，x₂，x₃∈[-1，log₂$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，∴t∈[2，6]，
①當(dāng)k＞1時，y∈[$\frac{k+6}{7}$，$\frac{k+2}{3}$]，2×$\frac{k+6}{7}$≤$\frac{k+2}{3}$，解得k≥22；
②當(dāng)k=1時，y=1，不滿足條件；
③當(dāng)k＜1時，y∈[$\frac{k+2}{3}$，$\frac{k+6}{7}$]，2×$\frac{k+2}{3}$≤$\frac{k+6}{7}$，解得k≤$-\frac{10}{11}$，
綜上可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，$-\frac{10}{11}$]∪[22，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等等，考查換元法、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查化簡、變形能力，屬于難題．