Question

14．△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，已知A=60°，a=6，現(xiàn)有以下判斷：
①若b=$\sqrt{3}$，則B有兩解；
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，則△ABC的面積為6$\sqrt{3}$；
③b+c不可能等于13；
④$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$的最大值為24$\sqrt{3}$．
請將所有正確的判斷序號填在橫線上②③④．

Answer 1

分析 ①若b=$\sqrt{3}$＜a=6，A=60°，則B只有一解，為銳角，即可判斷出正誤；
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，可得cbcos60°=12，解得bc，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$，即可判斷出正誤；
③利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得6²=b²+c²-2bccos60°≥（b+c）²-3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解出即可判斷出正誤；
④由正弦定理可得：b=$4\sqrt{3}sinB$，c=$4\sqrt{3}sinC$，代入化簡為$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=b²-c²）=$24\sqrt{3}sin（2C+6{0}^{°}）$，即可判斷出正誤．

解答 解：①若b=$\sqrt{3}$＜a=6，A=60°，則B只有一解，為銳角，因此不正確；
②∵若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12，∴cbcos60°=12，解得bc=24，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$=6$\sqrt{3}$，正確；
③∵6²=b²+c²-2bccos60°≥（b+c）²-3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解得b+c≤12，當且僅當b=c=6時取等號，∴b+c的最大值為12，因此不可能等于13，正確．
④由正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=4\sqrt{3}$，∴b=$4\sqrt{3}sinB$，c=$4\sqrt{3}sinC$，$（{\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}}）•\overrightarrow{{B}C}$=$（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=b²-c²=48sin²B-48sin²C=24（1-cos2B）-24（1-cos2C）=24cos2C-24cos（240°-2C）=$24\sqrt{3}sin（2C+6{0}^{°}）$≤24$\sqrt{3}$，因此正確．
綜上可得：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理解三角形、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．