Question

19．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①若a=1，b=2，則c＞$\frac{1}{4}$
②若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x對一切實數(shù)x都成立
③函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點
④若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數(shù)x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定沒有實數(shù)根
其中正確的結(jié)論是①③④⑤（寫出所有正確結(jié)論的編號）

Answer 1

分析 （1）把a和b帶入二次函數(shù)解析式與y=x聯(lián)立，根據(jù)△＜0求得c的范圍．
（2）根據(jù)題意知f（1）=a+b+c=0，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c有一個零點（1，0），則f（1）=0＜1，可得②錯誤．
（3）根據(jù)已知條件求得△大于零，進而求得函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x聯(lián)立消去y后二次方程△＜0推斷出函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點．
（4）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，可以推斷出當a＞0時，f（x）＞x，進而可知f[f（x）]=f（x）．
（5）由函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，推斷出f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．進而推斷出f[f（x）]=x沒有實數(shù)根．

解答 解：（1）f（x）=x²+2x+c，
令f（x）=x=x²+2x+c，
整理得x²-x+c=0，要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x無交點，
需△=1-4c＜0，即c＞$\frac{1}{4}$，故①正確．
（2）依題意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c有一個零點（1，0），
∴若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x不是對一切實數(shù)x都成立，
故②錯誤．
（3）聯(lián)立二次函數(shù)和直線方程整理得ax²+（b-1）x+c=0，圖象無交點，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}-bx+c=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
消去y得ax²+bx+c=0，△=（b-1）²-4ac＜0，
∴函數(shù)g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點，
故③正確．
（4）因為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以當a＞0時，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④結(jié)論正確．
（5）因為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因為f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實數(shù)根；
故⑤結(jié)論正確．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．利用好二次函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想是解決問題的關(guān)鍵．