Question

【題目】設函數(shù)f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的導函數(shù)，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣1，0）∪（0，1）
D.（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令g（x）= ，
則g′（x）= ，
∵xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵g（﹣x）=﹣g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的奇函數(shù)，g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．
又∵g（﹣1）=0，
∴g（1）=0，
∴不等式f（x）＞0xg（x）＞0，
∴x＞0，g（x）＞0或x＜0，g（x）＜0，
∴0＜x＜1或﹣1＜x＜0，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1），
故選：C．
由已知當x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）= 在（0，+∞）上為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，不等式f（x）＞0等價于xg（x）＞0，分類討論即可得到答案．