Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）的極大值為M，極小值為m，且M•m=e⁵，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）=0，可得x²-ax+a=0，由題意可得方程有兩個(gè)不等的正根，設(shè)為x₁，x₂，（x₁＜x₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和極值的定義，可得M，m，由條件M•m=e⁵，解方程即可得到a=5．

解答 解：（1）f（x）=（1-$\frac{2}{x}$）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（$\frac{2}{{x}^{2}}$+1-$\frac{2}{x}$）e^x，
即有切線的斜率為k=e，切點(diǎn)為（1，-e），
則切線的方程為y+e=e（x-1），
即為ex-y-2e=0；
（2）f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（$\frac{a}{{x}^{2}}$+1-$\frac{a}{x}$）e^x，
由f′（x）=0，可得x²-ax+a=0，
由題意可得方程有兩個(gè)不等的正根，設(shè)為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
即有△=a²-4a＞0，x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=a＞0，
解得a＞4．
由極值的定義可得x=x₁處取得極大值M，x=x₂處取得極小值m，
即有M•m=e⁵，即為（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即（1-$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$））•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即（1-a+a））•${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=e⁵，
即有a=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．