Question

下列四個命題：
①圓（x+2）²+（y+1）²=4與直線x-2y=0相交，所得弦長為2；
②直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共點；
③若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為108π；
④若棱長為

2

的正四面體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為

3

2

π．
其中，正確命題的序號為

 

．寫出所有正確命的序號）

Answer 1

分析：①②是直線和圓的位置關(guān)系及弦長問題，一般轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題，但本題中很容易看出①中直線x-2y=0過圓心，②中直線和圓均過原點；③④為與球有關(guān)的組合體問題，結(jié)合球的截面性質(zhì)，球心與截面圓心的連線垂直于截面圓處理．

解答：解：①圓心（-2，-1）在直線x-2y=0上，即直線x-2y=0過圓心，所得弦長為直徑4，結(jié)論錯誤；
②∵直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1橫過原點，故恒有公共點正確；
③球直徑為正方體的對角線長即3

3

，故求半徑R=

3 3

2

，球表面積為s=4πR²=27π，結(jié)論錯誤；
由上圖可知，AH=

6

3

a，(

6

3

a-R)2+(

3

3

a)2=R2，∴R=

6

4

a，
∵a=

2

，∴R=

3

2

，∴V=

4

3

πR3=

3

2

π，結(jié)論正確．
故答案為：②④

點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系及與球有關(guān)的組合體問題．直線和圓的位置關(guān)系一般轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題，與球有關(guān)的組合體問題要畫好圖形，結(jié)合球的截面性質(zhì)．