Question

14．設函數(shù)$f（x）=ln（x+1）-\frac{ax}{x+1}（a∈R）$．
（Ⅰ）若f（0）為f（x）的極小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，計算f′（0）=0，求出a的值檢驗即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調性結合f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，求出a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（-1，+∞），
因為$f（x）=ln（x+1）-\frac{ax}{x+1}（a∈R）$，
所以f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
因為f（0）為f（x）的極小值，
所以f′（0）=0，即$\frac{1}{0+1}$-$\frac{a}{{（0+1）}^{2}}$=0，
所以a=1，
此時，f′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以f（x）在x=0處取得極小值，
所以a=1．                        …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當a=1時，f（x）在[0，+∞）上為單調遞增函數(shù)，
所以f（x）＞f（0）=0，
所以f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立．
因此，當a＜1時，f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$＞ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$＞0，
f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立．
當a＞1時，f′（x）=$\frac{x-（a-1）}{{（x+1）}^{2}}$，
所以，當x∈（0，a-1）時，f′（x）＜0，因為f（x）在[0，a-1）上單調遞減，
所以f（a-1）＜f（0）=0，
所以當a＞1時，f（x）＞0并非對x∈（0，+∞）恒成立．
綜上，a的最大值為1．            …（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．