Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，，且M是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大��；
（Ⅲ）在線段EB上是否存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°？若存在，求出BP的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明EM∥平面ADF，利用線面平行的判定，證明EN平行于平面ADF中兩條相交直線即可；也可建立如空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADF的一個法向量，證明；
（Ⅱ）平面ADF的一個法向量是，是平面EBAF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角D-AF-B的大��；
（Ⅲ）假設(shè)在線段EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°，不妨設(shè)P（0，0，t）（），則，利用向量的夾角公式，求出t的值，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191320957035681/SYS201310241913209570356016_DA/6.png">，
所以MN∥EF且MN=EF．
所以四邊形MNFE為平行四邊形，
所以EM∥FN．
又因?yàn)镕N?平面ADF，EM?平面ADF，
故EM∥平面ADF．…（4分）
解法二：因?yàn)镋B⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B為原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．…（1分）
由已知可得 B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），
（Ⅰ），．…（2分）
設(shè)平面ADF的一個法向量是=（x，y，z）．
由得
令y=3，則．…（3分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191320957035681/SYS201310241913209570356016_DA/14.png">，
所以，又EM?平面ADF，所以EM∥平面ADF．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面ADF的一個法向量是．
因?yàn)镋B⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因?yàn)锳B⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
故是平面EBAF的一個法向量．
所以，又二面角D-AF-B為銳角，
故二面角D-AF-B的大小為60°．…（10分）
（Ⅲ）解：假設(shè)在線段EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°．
不妨設(shè)P（0，0，t）（），則．
所以，
由題意得，化簡得，
解得．
所以在線段EB上不存在點(diǎn)P，使得CP與AF所成的角為30°．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量，利用向量的夾角公式是關(guān)鍵