Question

8．若x＞0，y＞0，xy=2，則$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$的最小值為1．

Answer 1

分析 由題意變形可得$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$=2x+y+$\frac{-12}{2x+y}$，由函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，xy=2，
∴$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$=$\frac{（2x）^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+4xy}$
=$\frac{（2x+y）（4{x}^{2}-2xy+{y}^{2}）}{（2x+y）^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-4+{y}^{2}}{2x+y}$
=$\frac{4{x}^{2}+4xy+{y}^{2}-4xy-4}{2x+y}$=$\frac{（2x+y）^{2}-12}{2x+y}$
=2x+y+$\frac{-12}{2x+y}$
當(dāng)2x+y取最小值時(shí)，$\frac{-12}{2x+y}$有最小值，
即當(dāng)2x+y≥2$\sqrt{2xy}$=4即2x=y時(shí)取等號(hào)，
代入計(jì)算可得最小值為4+$\frac{-12}{4}$=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，變換已知式子是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．