Question

2．已知f（x）=cos2x+acosx．
（1）若a=2，x∈R，求f（x）的值域；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）若a=2，x∈R，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的值域；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的值域．

解答 解：f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1=2（cosx+$\frac{a}{4}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．
（1）若a=2，f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$．
∵-1≤cosx≤1，
∴當cosx=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）有最小值-$\frac{3}{2}$．
當cosx=1時，函數(shù)f（x）有最大值3．
故f（x）的值域為[-$\frac{3}{2}$，3]；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則0≤cosx≤1，
設(shè)t=cosx，則0≤t≤1，
則函數(shù)f（x）等價為g（t）=2t²+at-1=2（t+$\frac{a}{4}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．（0≤t≤1），
對稱軸為t=-$\frac{a}{4}$，
①若-$\frac{a}{4}$＜0，即a＞0，此時函數(shù)g（t）在0≤t≤1上遞增，
則g（0）≤g（t）≤g（1），即-1≤g（t）≤1+a，值域為[-1，1+a]，
②若-$\frac{a}{4}$＞1，即a＜-4，此時函數(shù)g（t）在0≤t≤1上遞減，
則g（1）≤g（t）≤g（0），即1+a≤g（t）≤-1，值域為[1+a，-1]，
③0≤-$\frac{a}{4}$≤$\frac{1}{2}$，即-2≤a≤0時，此時函數(shù)的最小值為g（$\frac{a}{4}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，最大值為g（1）=1+a，值域為[1+a，-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$]．
④$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{4}$≤1，即-4≤a≤-2時，此時函數(shù)的最小值為g（$\frac{a}{4}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，最大值為g（0）=-1，值域為[-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，-1]．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要對對稱軸進行分類討論．