Question

【題目】已知不恒為零的函數(shù)f（x）在定義域[0，1]上的圖象連續(xù)不間斷，滿足條件f（0）=f（1）=0，且對(duì)任意x1 ， x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣x2|，則對(duì)下列四個(gè)結(jié)論： ①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤ 時(shí)，f（x）= x（x﹣ ），則當(dāng) ＜x≤1時(shí)，f（x）= （1﹣x）（ ﹣x）；
②若對(duì)x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），則y=f（x）至少有3個(gè)零點(diǎn)；
③對(duì)x∈[0，1]，|f（x）|≤ 恒成立；
④對(duì)x1 ， x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤ 恒成立．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（1﹣x）=f（x）得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱， 若0≤x≤ 時(shí)，f（x）= x（x﹣ ），則當(dāng) ＜x≤1時(shí)，f（x）= （1﹣x）（ ﹣x），故①正確；
∵f（1﹣x）=﹣f（x），故函數(shù)圖象關(guān)于（ ，0）對(duì)稱，
又由f（0）=f（1）=0，
故函數(shù)f（x）至少有3個(gè)零點(diǎn)0， ，1．故②正確；
∵當(dāng)0≤x≤ 時(shí)，|f（x）|≤ x≤ ；
當(dāng) ＜x≤1時(shí)，則1﹣x≤ ，
|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤ （1﹣x）≤ = ．
∴x∈[0，1]，|f（x）|≤ 恒成立，故③正確，
設(shè)x1 ， x2∈[0，1]，當(dāng)|x1﹣x2|≤ 時(shí)，|f（x1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣x2|≤ ，
當(dāng)|x1﹣x2|＞ 時(shí)，|f（x1）﹣f（x2）|=|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|
≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣0|+ |1﹣x2|
= ×1+ （1﹣x2）= ﹣ （x2﹣x1）≤ ﹣ × = ．故④正確
故選D．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．