Question

已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）當n=5時，求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值．
（2）設(shè)bn=

a2

2n-3

，T_n=b₂+b₃+b₄+…+b_n．試用數(shù)學歸納法證明：當n≥2時，Tn=

n(n+1)(n-1)

3

．

Answer 1

分析：（1）通過給等式中的x賦值2求出展開式的系數(shù)和．
（2）將二項式的底數(shù)寫成（x-1）+2形式，利用二項展開式的通項公式求出a₂，求出b_n，利用數(shù)學歸納證明等式．

解答：解：（1）當n=5時，
原等式變?yōu)椋▁+1）⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+a₄（x-1）⁴+a₅（x-1）⁵
令x=2得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=3⁵=243
（2）因為（x+1）ⁿ=[2+（x-1）]ⁿ所以a₂=C_n²•2^n-2
bn=

a2

2n-3

=2

C

2 n

=n(n-1)(n≥2)
①當n=2時．左邊=T₂=b₂=2，右邊=

2(2+1)(2-1)

3

=2
左邊=右邊，等式成立．
②假設(shè)當n=k（k≥2，k∈N^*）時，等式成立，即Tk=

k(k+1)(k-1)

3

那么，當n=k+1時，
左邊=Tk+bk+!=

k(k+1)(k-1)

3

+(k+1)[(k+1)-1]=

k(k+1)(k-1)

3

+k(k+1)=k(k+1)(

k-1

3

+1)=

k(k+1)(k+2)

3

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]

3

=右邊．
故當n=k+1時，等式成立．
綜上①②，當n≥2時，Tn=

n(n+1)(n-1)

3

點評：本題考查賦值法是求展開式的系數(shù)和常用的方法、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題、
考查利用數(shù)學歸納法證明恒等式．