已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n(n≥2,n∈N*
(1)當(dāng)n=5時,求a2的值.
(2)設(shè)Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
,求證:
n
2
Sn≤n,n∈N*
分析:(1)將n=5代入(x+1)n中,變形可得[(x-1)+1]5,則a2為其展開式中(x-1)2的系數(shù),由二項式定理可得答案;
(2)由于與二項式有關(guān),故可采用賦值法.取x=1,則a0=2n,從而可求Sn,再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可,只不過需注意假設(shè)n=k時成立,求當(dāng)n=k+1時,Sn增加2k+1-2k=2k項.
解答:解:(1)根據(jù)題意,(x+1)5=[2+(x-1)]5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,
則a2(x-1)2=C5225-2(x-1)2
故a2=80;
(2)在:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n中,
令x=1,可得a0=2n,
Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
a0-1
=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
,
①當(dāng)n=2時,Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
=1+
1
2
+
1
3
,顯然1<Sn≤2
故當(dāng)n=2時,滿足
n
2
Sn≤n

②假設(shè)當(dāng)n=k(k>2,k∈N)時,滿足
n
2
Sn≤n
,
k
2
Sk=1+
1
2
+
1
3
+
…+
1
2k-1
≤k成立,
當(dāng)n=k+1(k>2,k∈N)時,
Sk+1=1+
1
2
+
1
3
+
…+
1
2k-1
+
1
2k
+…+
1
2k+1-1

k
2
+
1
2k
+…+
1
2k+1-1

k
2
+
1
2k
+…+
1
2k+1-2

k
2
+
1
2
×
1
2k-1
+
1
2k
…+
1
2k-1

k
2
+
1
2
=
k+1
2

Sk+1=1+
1
2
+
1
3
+
…+
1
2k-1
+
1
2k
+…+
1
2k+1-1

≤k+
1
2k
+…+
1
2k+1-1
≤k+1
故當(dāng)n=k+1(k>2,k∈N)時,
k+1
2
Sk+1≤k+1
綜合①②可知,
n
2
Sn≤n,n∈N*
,n≥2.
點(diǎn)評:本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過給二項式的x賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,同時考查了數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題.
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(2)設(shè)bn=
a2
2n-3
,Tn=b2+b3+b4+…+bn.試用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時,Tn=
n(n+1)(n-1)
3

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