Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+a|x-1|+1，
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值；
（3）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（1）通過分類討論去絕對值號(hào)，研究分段函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論；（2）通過定義域去掉絕對值號(hào)，再對函數(shù)的對稱軸位置進(jìn)行分類討論，得到本題結(jié)論；（3）先對定義域進(jìn)行分類討論去掉絕對值號(hào)，再對函數(shù)的對稱軸位置討論，研究函數(shù)的最小值，在函數(shù)最小值非負(fù)，得到a的取值范圍，即本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴f（x）=x²+a|x-1|+1=f（x）
=x²+|x-1|+1=

x2+x，(x≥1) x2-x+2，(x＜1)

．
當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

≥2；
當(dāng)a＜1時(shí)，f(x)=(x-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

，
∴f（x）的值域?yàn)閇2，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，
f（x）=x²+a（x-1）+1=x²+ax+1-a，
當(dāng)-

a

2

≤2，即a≥-4時(shí)，[f（x）]_max=f（3）=2a+10；
當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，[f（x）]_maxf（1）=2；
∴在區(qū)間[1，3]上f（x）的最大值為[f(x)]max=

2a+10，(a≥-4) 2，(a＜-4)

．
（3）∵不等式f（x）≥0恒成立，
∴[f（x）]_min≥0．
∵f（x）=x²+a|x-1|+1=

x2+ax+1-a，(x≥1) x2-ax+1+a，(x＜1)

，
∴當(dāng)a≤-2時(shí)，

a

2

≤-1＜1，-

a

2

≥1，
∴

f( a 2 )≥0 f(- a 2 )≥0

，即2-2

2

≤a≤-2+2

2

，
此時(shí)無解；
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，

a

2

＜1，-

a

2

＜1，
∴

f(1)≥0 f( a 2 )≥0

，即2-2

2

≤a≤2+2

2

，
∴2-2

2

≤a＜2；
當(dāng)a≥2時(shí)，

a

2

≥1，-

a

2

≤-1＜1，
∴f（1）≥0，
∴a≥2．
綜上，a≥2-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了絕對值問題、函數(shù)值域問題，還考查了分類討論思想，本題思維質(zhì)量高，運(yùn)算難度大，屬于難題．