Question

已知f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx。
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為3？

Answer 1

解：（1）設(shè)x∈[-e，0），則-x∈（0，e]
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）+ln（-x）] =ax-ln（-x）
故。
（2）假設(shè)存在負(fù)實(shí)數(shù)a使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，f（x）=ax-ln（-x）最小值是3，
則由f'（x），知
①當(dāng)，即時(shí)，由x∈[-e，0）得f'（x）≥0，
此時(shí)函數(shù)f（x）=ax-ln（-x）遞增，
所以f（x）_min=f（-e）=-ae- 1=3
解得（舍去）；
②當(dāng)，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）=ax-ln（-x）遞減；
當(dāng)時(shí)，f'（x）>0，函數(shù)f（x）=ax-ln（-x）遞增
所以，函數(shù)當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，
，解得a=-e²
綜上可知，存在實(shí)數(shù)a=-e²，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值是3。