Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)g（x）=xf（x）為偶函數(shù)，且g（-1）=0，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x+1）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，先由g（-1）=0得則f（-1）=0，然后由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)得f（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)得f（1）=0，且函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，再用f（-1）和f（1）代替f（x+1）＞0中的0，分類x+1＞0和x+1＜0，在不同的單調(diào)區(qū)間上求解．

解答： 解：由g（-1）=0得g（-1）=-f（-1）=0，則f（-1）=0，
又∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)g（x）=xf（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）定義域也是{x|x≠0}，且g（-x）=g（x），
∴-xf（-x）=xf（x），
∴f（-x）=-f（x），對(duì)x∈{x|x≠0}成立，
∴f（x）為奇函數(shù)，
又∵f（-1）=0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（1）=0，
函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x+1＞0即x＞-1時(shí)，f（x+1）＞0?f（x+1）＞f（1）⇒x+1＞1⇒x＞0；
當(dāng)x+1＜0即x＜-1時(shí)，f（x+1）＞0?f（x+1）＞f（-1）⇒x+1＞-1⇒x＞-2⇒-2＜x＜-1；
綜上，f（x+1）＞0的解集是（-2，-1）∪（0，+∞）．
故答案為：（-2，-1）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是分析條件得到函數(shù)f（x）的奇偶性，再綜合單調(diào)性求解．要求熟練應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)，屬于中低檔題目．