Question

【題目】已知函數(shù)f（x），g（x）=f（x）-a，

（1）討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)，并寫出相應(yīng)的實數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)函數(shù)g（x）有四個零點分別為x1，x2，x3，x4時，求x1+x2+x3+x4的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）-2＜x1+x2+x3+x4≤.

【解析】

（1）利用兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，來判定零點個數(shù)；

（2）結(jié)合函數(shù)圖像的特點，得出零點的特征及范圍.

（1）根據(jù)題意，g（x）=f（x）-a的零點的個數(shù)即y=f（x）與直線y=a交點的個數(shù)，

函數(shù)f（x）=的圖象如圖：

①當(dāng)a＜-3時，y=f（x）與直線y=a沒有交點，則函數(shù)g（x）沒有零點；

②當(dāng)a=-3時，y=f（x）與直線y=a有1個交點，則函數(shù)g（x）有1個零點；

③當(dāng)-3＜a＜0時，y=f（x）與直線y=a有2個交點，則函數(shù)g（x）有2個零點；

④當(dāng)a=0或a＞1時，y=f（x）與直線y=a有3個交點，則函數(shù)g（x）有3個零點；

⑤當(dāng)0＜a≤1時，y=f（x）與直線y=a有4個交點，則函數(shù)g（x）有4個零點；

（2）由（1）的結(jié)論，函數(shù)g（x）有四個零點分別為x1，x2，x3，x4時，必有0＜a≤1，

設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，則有x1+x2，|lgx3|=|lgx4|，

若|lgx3|=|lgx4|，則x3x4=1，

又由1＜x4≤10，則.

令，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以 即2＜x3+x4≤，

故-2＜x1+x2+x3+x4≤．