Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且x∈[-1，0]時，f(x)=

x

x2+1

．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）分別把x=0，x=-1代入已知函數(shù)解析式可求
（2）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，則f(-x)=

-x

x2+1

結(jié)合函數(shù)f（x）為偶函數(shù)有f（-x）=f（x）可求
（3）利用定義，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x2)-f(x1)=

-x2

x22+1

-

-x1

x12+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

，根據(jù)已知即可判斷f（x₂）與f（x₁）的大小即可

解答：解：（1）當(dāng)x=0，x=-1時，f(0)=0，f(-1)=-

1

2

…（2分）
（2）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，則f(-x)=

-x

x2+1

…（4分）
因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)=

-x

x2+1

…（6分）
所以f(x)=

-x x2+1 ，x∈[0，1] x x2+1 ，x∈[-1，0)

…（8分）
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x2)-f(x1)=

-x2

x22+1

-

-x1

x12+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴

(x2-x1)(x1x2-1)

(1+ x12)(1+x22)

＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]為單調(diào)減函數(shù)…（16分）

點評：本題主要考察了由函數(shù)的解析式求解函數(shù)值，利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，屬于函數(shù)知識的綜合考查