Question

18．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠kπ，k∈Z）經(jīng)過橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）的左焦點(diǎn)F．（1）求m的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出m的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步建立一參數(shù)為變量的一元二次方程，進(jìn)一步根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)的關(guān)系式，再利用函數(shù)的值域求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=\sqrt{3}sinϕ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，方程的左焦點(diǎn)為F，
∴F（-1，0）．                                   
∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α≠kπ，k∈Z）的普通方程為：y=tanα（x-m）．
∵α≠kπ，k∈Z，
∴tanα≠0                           
∵直線經(jīng)過點(diǎn)F，
所以：0=tanα（-1-m），解得：m=-1．
（2）將直線的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：
（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0．
設(shè)點(diǎn)A、B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁和t₂，
則|FA|×|FB|=|t₁t₂|
=$\frac{9}{3{cos}^{2}α+4{sin}^{2}α}$
=$\frac{9}{3+{sin}^{2}α}$，
當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|×|FB|的最小值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，及參數(shù)方程的應(yīng)用，根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值問題的應(yīng)用，主要考察學(xué)生運(yùn)算能力和對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解能力．