Question

在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿對(duì)角線AC將四邊形折成直二面角，如圖所示：

（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由平面幾何知識(shí)，不難算出∠ACD=90°，從而AC⊥CD．因?yàn)槎�面角B-AC-D為直二面角，結(jié)合CD⊥AC，可得DC⊥平面ABC，得到CD⊥AB，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，得到AB⊥平面BCD；
（II）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，過(guò)O作OE⊥AD于E，可證∠BEO為二面角B-AD-C的平面角，解直角三角形BEO，可求此角的大小，即可得出結(jié)論．

解答： （I）證明：∵∠B=90°，∴AB⊥BC．
∵AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=45°．（1分）
又平面四邊形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°∴DC⊥AC（2分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC?平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD（4分）
∵DC∩BC=C，∴AB⊥平面BCD（5分）
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面PCD．（6分）
（II）解：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，過(guò)O作OE⊥AD于E，連接BE．
∵AB=BC，O為AC中點(diǎn)．∴BO⊥AC，（7分）
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
BO?平面ABC，∴BO⊥平面ACD．（8分）
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，∴∠BEO為二面角B-AD-C的平面角．（10分）
在Rt△ABC中，BO=

2

2

，AC=

2

∴在Rt△DCA中，AD=

3

，∴OE=

6

6

．（11分）
∴在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

3

，∴∠BEO=60°（13分）
∴二面角B-AD-C的大小為60°，
∴其余弦值為

1

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵在一個(gè)面內(nèi)找到一條直線和另一個(gè)平面垂直，利用三垂線定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角