Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足=1-，n∈N^*，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得到關(guān)于a₁與d的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，繼而可求得b_n=，n∈N^*，于是T_n=+++…+，利用錯位相減法即可求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知++…+=1-，n∈N^*，得：
當(dāng)n=1時，=，
當(dāng)n≥2時，=（1-）-（1-）=，顯然，n=1時符合．
∴=，n∈N^*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=，n∈N^*．
又T_n=+++…+，
∴T_n=++…++，
兩式相減得：T_n=+（++…+）-
=--
∴T_n=3-．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等差數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和，突出考查錯位相減法求和，考查分析運(yùn)算能力，屬于中檔題．