已知數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,且滿足2Sn=-2an+n2-n+2,2bn=n-2-an
(Ⅰ)求a1、b1的值,并證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)試確定實數(shù)λ的值,使數(shù)列{
Tn+λSnn
}
是等差數(shù)列.
分析:(Ⅰ)在2Sn=-2an+n2-n+2,2bn=n-2-an令n=1代入求得a1、b1的值,根據(jù)an=
S1            (n=1)
Sn-Sn-1  (n≥2)
,求得數(shù)列{an}通項公式,代入2bn=n-2-an,根據(jù)等比數(shù)列的定義,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)求得數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,利用等差數(shù)列的定義求得實數(shù)λ的值,使數(shù)列{
Tn+λSn
n
}
是等差數(shù)列.
解答:解:
(Ⅰ)證明:由已知,得2a1=-2a1+1-1+2
∴a1=
1
2

∴b1=-
3
4

由2Sn=-2an+n2-n+2,得2Sn+1=-2an+1+(n+1)2-(n+1)+2
兩式作差得:2an+1=an+n.
bn+1
bn
=
(n+1)-2-an+1
n-2-an
=
n-1-
an+n
2
n-2-an
=
1
2

∴數(shù)列{bn}是以-
3
4
為首項,
1
2
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=-
3
4
1
2
n-1,
∴Tn=
-
3
4
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=-
3
2
+
3
2n+1

∵2bn=n-2-an
∴an=n-2-2bn=
3
2n
+n-2
Sn=-an+
n2-n+2
2
-
3
2n
+
n2-3n
2
+3

∵數(shù)列{
TnSn
n
}是等差數(shù)列的充要條件是
TnSn
n
=An+B(A、B為常數(shù))
即Tn+λSn=An2+Bn
TnSn=-
3
2
+-
3
2n+1
+λ(-
3
2n
+
n2-3n
2
+3)=
λ(n2-3n)
2
-(λ-
1
2
)(
3
2n
-3)

∴當(dāng)且僅當(dāng)(λ-
1
2
)=0
λ=
1
2

數(shù)列{
TnSn
n
}是等差數(shù)列.
點評:考查等比數(shù)列的定義和前n項和公式,及根據(jù)an=
S1            (n=1)
Sn-Sn-1  (n≥2)
求得數(shù)列{an}通項公式,體現(xiàn)分類討論的思想方法,利用等差數(shù)列的定義探討參數(shù)λ的值,增加了試題的難度,屬中檔題.
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an
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1
2
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ann
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an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
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2n
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