Question

已知函數(shù)f（x）=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

（1）證明：f（x）為奇函數(shù)，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，
則f（x）=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=-

x 1 3 -x- 1 3

5

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當x＞0時，函數(shù)y=x

1

3

為增函數(shù)，y=x-

1

3

為減函數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得到此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=
f(22)-5f(2)g(2)=

2 2 3 -2- 2 3

5

-5?

2 1 3 -2- 1 3

5

?

2 1 3 +2- 1 3

5

=

2 2 3 -2- 2 3

5

-

2 2 3 -2- 2 3

5

=0
f（9）-5f（3）•g（3）=f(32)-5f(3)g(3)=

3 2 3 -3- 2 3

5

-5?

3 1 3 -3- 1 3

5

?

3 1 3 +3- 1 3

5

=

3 2 3 -3- 2 3

5

-

3 2 3 -3- 2 3

5

=0．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及指數(shù)冪的運算，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．