【題目】本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
從數(shù)列中取出部分項(xiàng),并將它們按原來(lái)的順序組成一個(gè)數(shù)列,稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.
設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無(wú)窮等差數(shù)列.
(1)若,,成等比數(shù)列,求其公比.
(2)若,從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng),試問(wèn)該數(shù)列是否為的無(wú)窮等比子數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若,從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)(設(shè))作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng),試問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí),該數(shù)列為的無(wú)窮等比子數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】略
【解析】
(1)由題設(shè),得,即,得,又,于是,故其公比.(4分)
(2)設(shè)等比數(shù)列為,其公比,,(6分)
由題設(shè).
假設(shè)數(shù)列為的無(wú)窮等比子數(shù)列,則對(duì)任意自然數(shù),都存在,使,
即,得,(8分)
當(dāng)時(shí),,與假設(shè)矛盾,
故該數(shù)列不為的無(wú)窮等比子數(shù)列.(10分)
(3)①設(shè)的無(wú)窮等比子數(shù)列為,其公比(),得,
由題設(shè),在等差數(shù)列中,,,
因?yàn)閿?shù)列為的無(wú)窮等比子數(shù)列,所以對(duì)任意自然數(shù),都存在,使,
即,得,
由于上式對(duì)任意大于等于的正整數(shù)都成立,且,均為正整數(shù),
可知必為正整數(shù),又,故是大于1的正整數(shù).(14分)
②再證明:若是大于1的正整數(shù),則數(shù)列存在無(wú)窮等比子數(shù)列.
即證明無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng).
在等比數(shù)列中,,
在等差數(shù)列中,,,
若為數(shù)列中的第項(xiàng),則由,得,整理得,
由,均為正整數(shù),得也為正整數(shù),
故無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng),得證.
綜上,當(dāng)且僅當(dāng)是大于1的正整數(shù)時(shí),數(shù)列存在無(wú)窮等比子數(shù)列.(18分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值;
(3)若正實(shí)數(shù)滿足,證明:.
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【題目】如圖,在三棱錐中,底面,.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn),是線段的中點(diǎn),,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知點(diǎn)在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問(wèn)是否存在,使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購(gòu)買(mǎi)土特產(chǎn)的情況,對(duì)2019年元旦期間的90位游客購(gòu)買(mǎi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.
購(gòu)買(mǎi)金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計(jì) | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合計(jì) |
(2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購(gòu)買(mǎi)金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次,每次中獎(jiǎng)概率為(每次抽獎(jiǎng)互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買(mǎi)金額不少于60元的頻率),中獎(jiǎng)1次減5元,中獎(jiǎng)2次減10元,中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)80元的土特產(chǎn),請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)(點(diǎn)與、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③若的面積為,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列為函數(shù)圖像上的點(diǎn),點(diǎn)列順次為軸上的點(diǎn),其中,對(duì)任意,點(diǎn)構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,求的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意,是常數(shù),并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)半圓中有兩個(gè)互切的內(nèi)切半圓,由三個(gè)半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個(gè)內(nèi)切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發(fā)現(xiàn)被分隔的這兩塊的內(nèi)切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來(lái)切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若,則陰影部分與最大半圓的面積比為( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點(diǎn),為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:平面平面.
(2)試確定點(diǎn)的位置,使平面與平面所成的銳二面角為.
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