Question

已知函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且，
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并用定義證明；
③解關(guān)于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

解：①依題意得，即，解得：．
∴f（x）=．
②f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
證明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
③令log₂^x=t，則不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
轉(zhuǎn)化為f（t-1）+f（t）＜0?f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
∴-1＜t-1＜-t＜1?0＜t＜．
∴0＜log₂^x＜?1＜x＜．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集為（1，）．
分析：①直接根據(jù)f（0）=0以及，得到關(guān)于a，b的兩個等式，求出a，b的值即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
②直接利用單調(diào)性的定義證明即可得到證明其單調(diào)性；
③令log₂^x=t，直接利用其為奇函數(shù)把不等式轉(zhuǎn)化為f（t-1）＜f（-t）；再根據(jù)其單調(diào)性即可得到不等式的解集．
點(diǎn)評：本題主要考察對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)奇函數(shù)定義域內(nèi)有0得到f（0）=0．