Question

已知數(shù)列{a_n}滿足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，求{a_n}通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）兩邊同除以n整理得，

an+1

n(n+1)

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

，令b_n=

an

n(n-1)

，則b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

，利用累加法可求得b_n，進而可得a_n．

解答： 解：∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）
∴兩邊同除以n整理得，

an+1

n(n+1)

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

，
令b_n=

an

n(n-1)

，則b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

，
∴b₃-b₂=

1

2

-1，
b₄-b₃=

1

3

-

1

2

，
b₅-b₄=

1

4

-

1

3

，
…
b_n-b_n-1=

1

n-1

-

1

n-2

（n≥3）
上式累加得，b_n-b₂=

1

n-1

-1=

2-n

n-1

，
又b₂=

a2

2×(2-1)

=3，
∴b_n=

2-n

n-1

+3=

2n-1

n-1

（n≥3）
∴a_n=n（n-1）b_n=n（2n-1）（n≥3），
又由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）得a₁=1，a₂=6，對a_n=n（2n-1）也成立，
∴a_n=n（2n-1）=2n²-n．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求法，注意構(gòu)造法的合理應(yīng)用，邏輯性強，屬難題．