已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）．
（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，-b），B（a，0）滿足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）對于橢圓┍上的點(diǎn)Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．
分析：（1）設(shè)M（x，y） 根據(jù)
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
）分別用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三個(gè)向量，進(jìn)而解得x和y，則M點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（2）直線l1與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得，a2k12+b2-p2＞0，設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），利用韋達(dá)定理可求得x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而求得x0，代入直線方程求得y0，兩直線方程聯(lián)立根據(jù)直線l2的斜率求得x=x0，y=y0
進(jìn)而判斷出E為CD的中點(diǎn)；
（3）先求出PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的斜率，再由
PP1
+
PP2
=
PQ
，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率，直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，進(jìn)而求得q的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y）
∵
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），
∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）
∴
2(x+a)=3a
2(y-b)=-3b
，
解得x=
a
2
y=-
b
2

M點(diǎn)坐標(biāo)為（
a
2
，-
b
2
）
（2）由方程組
y=k1x+p
x2
a2
+ 
y2
b2
=1
，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，
因?yàn)橹本�l1：y=k1x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，所以△＞0，即a2k12+b2-p2＞0，
設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），
則x0=
x1+x2
2
=-
a2k1p
a2
k
2
1
+b2
，y0=k1x0+p=
b2p
a2
k
2
1
+b2
，由方程組
y=k1x+p
y=k2x
，消y得方程（k2-k1）x=p，
又因?yàn)閗2=-
b2
a2k1
，所以x=
p
k2-k1
=x0，y=k2x=y0
故E為CD的中點(diǎn)；
（3）求作點(diǎn)P1、P2的步驟：
1°求出PQ的中點(diǎn)E（-
a(1-cosθ)
2
，
b(1+sinθ)
2
），
2°求出直線OE的斜率k2=
b(1+sinθ)
2
a(1-cosθ)
2
=
b(1+sinθ)
a(1-cosθ)
，
3°由
PP1
+
PP2
=
PQ
，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率k1=
b(1-cosθ)
a(1+sinθ)
，
4°從而得直線P1P2的方程：y-
b(1+sinθ)
2
=
b(1-cosθ)
a(1+sinθ)
（x+
a(1-cosθ)
2
），
5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．
欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，
所以
(1-cosθ)2
4
+
(1+sinθ)2
4
＜1，化簡得sinθ-cosθ＜
1
2
，∴sin（θ-
π
4
）＜
2
4
，
又0＜q＜p，所以-
π
4
＜θ-
π
4
＜arcsin
2
4
，
故q的取值范圍是（0，
π
4
+arcsin
2
4
）
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提是要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識有相當(dāng)熟練的把握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：x2+y2=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）過M點(diǎn)的直線l1交圓于P、Q兩點(diǎn)，且圓孤PQ恰為圓周的
14
，求直線l1的方程；
（2）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；
（3）過M點(diǎn)作直線l2與圓相切于點(diǎn)N，設(shè)（2）中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，求三角形△NF1F2面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的方程為x=-4，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：x2+y2=4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則以l為準(zhǔn)線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1或
x2
8
+
y2
4
=1
x2
4
+
y2
3
=1或
x2
8
+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C2和直線l，設(shè)計(jì)一個(gè)與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問題思維層次評分）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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同步練習(xí)冊答案