Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，c∈R，a＞0，b∈N^*）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）有最小值2，且f（1）＜

5

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（x）≥mx．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，建立條件關(guān)系，求出a，b，c，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論m，即可解不等式f（x）≥mx．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

∴bx+c=bx-c
∴c=0，
∵a＞0，b＞0
∴f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

當(dāng)且僅當(dāng)x=

1 a

時等號成立．則2

a b2

=2
∴a=b²．
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b+c

＜

5

2

，即

b2+1

b

＜

5

2

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2；
又 b∈N^*，∴b=1   a=1
∴f（x）=x+

1

x

．
（Ⅱ）x+

1

x

≥mx，等價于x[（1-m）x²+1]≥0且x≠0
當(dāng)m≤1時，1-m≥0，此時不等式的解集為{x|x＞0}
當(dāng)m＞1時，x(x2+

1

1-m

)≤0，x(x+

1 m-1

)(x-

1 m-1

)≤0且x≠0
所以x≤-

1 m-1

，或0＜x≤

1 m-1

綜上，當(dāng)m≤1時，不等式的解集為{x|x＞0}
當(dāng)m＞1時，不等式的解集為{x|x≤-

1 m-1

，或0＜x≤

1 m-1

}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式的求解，利用條件求出a，b，c是解決本題的關(guān)鍵．