Question

求滿足下列條件的點的軌跡方程
①已知動圓過定點P（1，0）且與直線l：x=-1相切，求動圓圓心M的軌跡方程．
②已知△ABC的周長為16，B（-3，0），C（3，0）求頂點A的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①由題意可得圓心M到點P的距離等于它到直線l的距離，可知圓心M的軌跡是以P為焦點，直線l為準線的拋物線，設出拋物線方程，求出p后得答案；
②由△ABC的周長為16，結(jié)合B（-3，0），C（3，0），可得|AB|+|AC|=10，從而得到點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，并求得a，c的值，代入b²=a²-c²求出b后得到頂點A的軌跡方程．

解答： 解：①由題意得：圓心M到點P的距離等于它到直線l的距離，
∴圓心M的軌跡是以P為焦點，直線l為準線的拋物線．
設圓心M的軌跡方程為y²=2px（p＞0）（p＞0）．
∵

p

2

=1，
∴p=2．
∴圓心M的軌跡方程為：y²=4x；
（2）∵|AB|+|AC|+|BC|=16，
∴|AB|+|AC|=10．
∴點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓．
∴2a=10，
a=5．
又c=3，
∴b²=a²-c²=16．
∴頂點A的軌跡方程為：

x2

25

+

y2

16

=1 （y≠0）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，訓練了利用拋物線和橢圓的定義求其方程，是中檔題．