Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1
（1）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)log_ax=t，利用換元法求出f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明，g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，從而f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，然后判斷函數(shù)的奇偶性，f（x）是奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）為1-m＜m²-1即m²+m-2＞0求解即可．
（2）利用（1）轉(zhuǎn)化f（2）-4≤0為

a

a2-1

(a2-a-2)≤4．求解即可．

解答： （本題12分）解；（1）設(shè)log_ax=t，則x=a^t，所以f(logax)=f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)
故f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)當a＞1時，a²-1＞0，設(shè)g（x）=a^x-a^-x，
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
因為g(x1)-g(x2)=(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)=(ax1-ax2)+(

1

ax2

-

1

ax1

)=(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)
因為，x₁＜x₂且a＞1，故ax1＜ax2，所以g(

x

1

)＜g(x2)
所以，g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，從而f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
當0＜a＜1時，a²-1＜0，同理可證f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
又f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，所以f（x）是奇函數(shù)
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
因為f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以1-m＜m²-1即m²+m-2＞0解得m＜-2或m＞1
（2）由上，f（2）-4≤0即

a

a2-1

(a2-a-2)≤4．解得2-

3

≤a≤2+

3

點評：本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．