Question

已知△ABC中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA⊥面ABC，AD⊥SC于D．
（1）求證：AD⊥面SBC；
（2）求二面角A-SB-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）由SA⊥面ABC，得到SA⊥BC，結(jié)合BC⊥AC和線面垂直的判定定理，得到BC⊥面SAC，從而有BC⊥AD，再結(jié)合SC⊥AD，即可得到AD⊥面SBC．
（2）過D作DE⊥BS交BS于E，連接AE．用線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出∠AED為二面角A-SB-C的平面角，在Rt△ACS中算出AD的長，Rt△SAB中算出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用三角函數(shù)在直角三角形的定義，得到∠AED的正弦值，即可得到二面角A-SB-C的大�。�

解答：解：（1）∵SA⊥面ABC，BC⊆面ABC，∴SA⊥BC
又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，且AC∩SA=A，
∴BC⊥面SAC
∵AD?平面SAC，∴BC⊥AD
又∵SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥面SBC
（2）過D作DE⊥BS交BS于E，連接AE，
∵AD⊥面SBC，SB⊆面SBC，∴AD⊥SB
∵DE⊥BS，AD、DE是平面ADE內(nèi)的相交直線
∴SB⊥面ADE，可得AE⊥AB
因此，∠AED為二面角A-SB-C的平面角，
由AS=BC=1，AC=2，得Rt△ACS中，AD=

AS．AC

SC

=

2 5

5

，
Rt△SAB中，AB=

12+22

 =

5

，可得AE=

AB．AS

BS

=

30

6

∴Rt△ADE中，sin∠AED=

AD

AE

=

2 6

5

，
由此可得：二面角A-SB-C的大小為arcsin

2 6

5

點評：本題給出底面是直角三角形且一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，求證線面垂直并且求二面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角平面角的作法等知識，屬于中檔題．