Question

已知M是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，MA、MB是圓P：（x-1）²+（y-1）²=4的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，P為圓心，求•的最大值    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得 =4cos∠EPF，當(dāng)∠EMF最大時(shí)，•的值最大．由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時(shí)，∠EMF最大，此時(shí)，求得PM的值，即可求得cos∠PMF，利用二倍角
公式求得cos∠EPF 的值，從而求得•的值最大．
解答：解：由題意可得 =2×2×cos∠EPF=4cos∠EPF，圓心P（1，1），故要使•的值最大，只有∠EPF 最小．
再由四邊形MEPF中∠MEP=∠MFP=可得四邊形MEPF是圓內(nèi)接四邊形，故∠EPF+∠EMF=π，故當(dāng)∠EMF最大時(shí)，•的值最大．
由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時(shí)，∠EMF最大，此時(shí)，切線ME=MF，∠EPF=2∠MPF，PM等于圓心P到直線的距離 =3．
cos∠PMF==，cos∠EPF=cos（2∠MPF）=2cos²∠MPF-1=-1=-，
故•的值最大為 4cos∠EPF=4×（-）=-，
故答案為-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，圓的切線性質(zhì)，二倍角公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．