Question

已知矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF=DE=AD=

1

2

AB=2，O為BD中點．
（Ⅰ）求證：EO∥平面BCF；
（Ⅱ）求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC的中點G，連接OG，F(xiàn)G，可證得：EOGF為平行四邊形，即EO∥FG，進而運用線面平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）將多面體分割成棱錐F-ABCD和F-ADE，進而運用三棱錐的體積公式即可得到體積．

解答： 證明：（Ⅰ）取BC的中點G，連接OG，F(xiàn)G，

∵O為為BD中點，
∴OG∥CD，且OG=

1

2

CD，
又∵EF∥DC，EF=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴EF∥OG，且EF=OG，
∴四邊形EOGF為平行四邊形，即EO∥FG，
又∵EO?平面BCF，F(xiàn)G?平面BCF，
∴EO∥平面BCF；
（Ⅱ）∵ED⊥平面ABCD，EF∥DC，
故F點到底面ABCD的距離等于ED=2，
故棱錐F-ABCD的體積為：

1

3

×2×4×2=

16

3

，
又∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD為矩形，
故CD⊥平面ADE，
又由EF∥DC，
∴EF⊥平面ADE，
∴棱錐F-ADE的體積為：

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，
又∵幾何體ABCDEF可分割成棱錐F-ABCD和F-ADE，
故幾何體ABCDEF的體積V=

16

3

+

4

3

=

20

3

．

點評：本題主要考查線面平行的判定方法，同時考查割補思想，以及棱錐的體積公式．