Question

如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經過點P，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃.問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁＋k₂＝λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解　(1)由P在橢圓上，得＋＝1①

依題設知a＝2c，則b²＝3c²，②

②代入①，解得c²＝1，a²＝4，b²＝3.

故橢圓C的方程為＋＝1.

(2)法一　由題意可設AB的斜率為k，

則直線AB的方程為y＝k(x－1)，③

代入橢圓方程3x²＋4y²＝12，并整理，得

(4k²＋3)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則有x₁＋x₂＝

在方程③中令x＝4，得M的坐標為(4,3k)．

從而

注意到A，F，B共線，則有k＝k_AF＝k_BF，

即有＝k.

所以k₁＋k₂＝

＝

＝2k－·，⑤

④代入⑤，

得k₁＋k₂＝2k－·＝2k－1，

又k₃＝k－，所以k₁＋k₂＝2k₃.

故存在常數(shù)λ＝2符合題意．

法二　設B(x₀，y₀)(x₀≠1)，

則直線FB的方程為y＝ (x－1)，

令x＝4，求得

從而直線PM的斜率為k₃＝，

聯(lián)立得A，

則直線PA的斜率為k₁＝，

直線PB的斜率為k₂＝，

所以k₁＋k₂＝

＝＝2k₃，

故存在常數(shù)λ＝2符合題意.