Question

 如圖，直三棱柱中,，，，,點在線段上．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若是中點，證明∥平面；

（Ⅲ）當(dāng)時，求二面角的余弦值．

Answer 1

  證明：（Ⅰ）如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則 (3, 0, 0)，

 (0, 4, 0)， (0, 4, 4)， (3, 0, 4)， (0, 4, 4)．

  

     所以      

（Ⅱ）解法一：

 

設(shè)平面B₁ CD的法向量為，

由 

且，

令x = 4得，

所以  

又  所以 AC₁∥平面B₁CD；

解法二：證明：連結(jié)BC₁，交B₁C于E，DE．

因為 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，

所以側(cè)面B B₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，

所以 DE// AC₁．                                            

因為 DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

所以 AC₁∥平面B₁CD．            　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，

設(shè)D (a, b, 0)（，），

因為 點D在線段AB上，且， 即．

所以 ，，．

所以，．

平面BCD的法向量為．

設(shè)平面B₁ CD的法向量為，

由 ，， 得 ，

所以 ，，．                     

設(shè)二面角的大小為，

所以  ．

所以  二面角的余弦值為．