①④?
解析:①為真命題,證明如下:如圖,取BC中點M,連結(jié)AM、DM.?
由AB=AC,DB=DC,得AM⊥BC,DM⊥BC.?
故BC⊥面AMD,BC⊥AD.所以命題①為真命題.?
④為真命題,證明如下:設(shè)點A在平?
面BCD上的射影為點H,連結(jié)AH、BH、CH、DH,如圖所示.?
由AH⊥面BCD,AB⊥CD,得BH⊥CD.同理可得CH⊥BD.?
故H為△BCD的垂心,得HD⊥BC.?
又由三垂線定理逆定理可知BC⊥AD.所以命題④為真命題.?
②③都是假命題,可用特例結(jié)合反證法來證明.?
如圖,設(shè)AB=CD=1,AC=BD=2,AB⊥AC,BD⊥CD,作AN⊥BC于N,連結(jié)ND.假設(shè)BC⊥AD,則BC⊥平面NAD,得BC⊥ND.?
在Rt△ABC中,BN=,??
在Rt△BDC中,BN=,兩者相矛盾,假設(shè)不正確,即命題②③都是假命題.?
綜上,真命題的序號是①④.
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