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11．球O為邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，P為球O的球面上動點，M為B1C1中點，DP⊥BM，則點P的軌跡周長為$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}π$．

分析 首先，求解其內切球的半徑，然后，結合球面的性質求解點O到平面DCN的距離，然后，確定其周長．

解答 解：根據題意，該正方體的內切球半徑為r=2，
由題意，取BB1的中點N，連接CN，則CN⊥BM，
∵正方體ABCD-A1B1C1D1，∴CN為DP在平面B1C1CB中的射影，
∴點P的軌跡為過D，C，N的平面與內切球的交線，
∵正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為4，
∴O到過D，C，N的平面的距離$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴截面圓的半徑為：$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴點P的軌跡周長為：2π×$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}π$．
故答案為：$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}π$．

點評 本題重點考查球面距離及相關計算，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

1．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，側面PAB⊥底面ABCD，△PAB為正三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2，E為PD中點
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值；
（3）在線段BC上存在點Q使AQ⊥PD，求點Q到平面EAC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

2．某班組織的數學文化節(jié)活動中，通過抽獎產生了5名幸運之星．這5名幸運之星可獲得A、B兩種獎品中的一種，并規(guī)定：每個人通過拋擲一枚質地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品，拋擲點數小于3的獲得A獎品，拋擲點數不小于3的獲得B獎品．
（1）求這5名幸運之星中獲得A獎品的人數大于獲得B獎品的人數的概率；
（2）設X、Y分別為獲得A、B兩種獎品的人數，并記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過右焦點F的直線l交橢圓與P，Q兩點
（1）求橢圓的方程
（2）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）=0？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

6．已知正三棱錐各棱長為a，求：
（1）側棱和底面所成的角的余弦值；
（2）相鄰兩個面所成的角的余弦值；
（3）兩條不相交的棱所成的角；
（4）兩條不相交的棱之間的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

16．從0，1，2，3，4這5個數中取3個數，2恰好是中位數的概率是$\frac{2}{5}$．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

3．某校為了調查“學業(yè)水平考試”學生的數學成績，隨機地抽取該校甲、乙兩班各10名同學，獲得的數據如下：（單位：分）
甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；
乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127．
（1）以百位和十位為莖，個位為葉，在圖5中作出甲、乙兩班學生數學成績的莖葉圖，并判斷哪個班的平均水平較高；
（2）若數學成績不低于128分，稱為“優(yōu)秀”，求從甲班這10名學生中隨機選取3名，至多有1名“優(yōu)秀”的概率；
（3）以這20人的樣本數據來估計整個學校的總體成績，若從該校（人數很多）任選3人，記X表示抽到“優(yōu)秀”學生的人數，求X的數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+$2\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）2．善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）2（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b$\sqrt{2}$=m2+2n2+2mn$\sqrt{2}$．
∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn．；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：4+2$\sqrt{3}$=（1+1$\sqrt{3}$）2；
（3）若a+4$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，且a、m、n均為正整數，求a的值？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

19．某校在2014年對2000名高一新生進行英語特長測試選拔，現抽取部分學生的英語成績，將所得數據整理后得出頻率分布直方圖如圖所示，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數為12．
（1）求第二小組的頻率及抽取的學生人數；
（2）若分數在120分以上（含120分）才有資格被錄取，約有多少學生有資格被錄��？
（3）學校打算從分數在[130，140]和[140，150]分內的學生中，按分層抽樣抽取四人進行改進意見問卷調查，若調查老師隨機從這四個人的問卷中（每人一份）隨機抽取兩份調閱，求這兩份問卷都來自英語測試成績在[130，140]分的概率．

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