Question

20．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+$2\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：
設(shè)a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$．
∴a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b$\sqrt{2}$的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=m²+3n²，b=2mn．；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：4+2$\sqrt{3}$=（1+1$\sqrt{3}$）²；
（3）若a+4$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？

Answer 1

分析 （1）由a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，展開比較系數(shù)可得答案；
（2）取m=1，n=1，可得a和b的值，可得答案；
（3）由題意得m和n的方程，解方程可得m和n，可得a值．

解答 解：（1）∵a+b$\sqrt{3}$=${（m+n\sqrt{3}）}^{2}$，
∴a+b=m²+3n²+2mn，
∴a=m²+3n²，b=2mn．
故答案為m²+3n²；2mn．
（2）設(shè)m=1，n=1，
∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．
故答案為4、2、1、1；
（3）由題意得a=m²+3n²，b=2mn
∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，屬基礎(chǔ)題．