Question

定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）=2-x；記函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（1，

  4

  3

  ）
• C、（

  4

  3

  ，2]
• D、（

  4

  3

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因?yàn)閒（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可．

解答： 解：因?yàn)閷?duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，
且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．
由題意得f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）
所以可得k的范圍為

4

3

≤k＜2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具，屬于基礎(chǔ)題．