Question

f(x)=-

1

2

x2+

13

2

在區(qū)間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]．

Answer 1

（1）因為f（x）對稱軸為x=0
若0≤a＜b，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，
所以f（a）=2b，f（b）=2a，
于是

2b=- 1 2 a2+ 13 2 2a=- 1 2 b2+ 13 2

，
解得[a，b]=[1，3]．
（2）若a＜b≤0，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，
所以f（a）=2a，f（b）=2b，
于是

2a=- 1 2 a2+ 13 2 2b=- 1 2 b2+ 13 2

，方程兩根異號，
故不存在滿足a＜b≤0的a，b．
（3）若a＜0＜b，則f（x）在[a，0]上單調(diào)遞增，在[0，b]上單調(diào)遞減，
所以2b=

13

2

?b=

13

4

．
所以f(b)=-

1

2

•(

13

4

)2+

13

2

=

19

32

＞0，
又a＜0，所以2a≠

19

32

，
故f（x）在x=a處取得最小值2a，即2a=-

1

2

a2+

13

2

，得a=-2-

17

，
所以[a，b]=[-2-

17

，

13

4

]．
綜上所述，[a，b]=[1，3]或[-2-

17

，

13

4

]．