Question

若函數(shù)f(x)=

1

2

x2-x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），求a，b的值．

Answer 1

分析：由二次函數(shù)的性質(zhì)知，其對稱軸是x=1，由此知函數(shù)在[1，b]是一個增函數(shù)，由題設(shè)條件定義域和值域均為[1，b]（b＞1），即可轉(zhuǎn)化出關(guān)于a，b的方程，求解即可．

解答：解：由函數(shù)f(x)=

1

2

x2-x+a，得對稱軸方程是x=1
故函數(shù)在[1，b]上是增函數(shù)
又函數(shù)f(x)=

1

2

x2-x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），
故有

f(1)=1 f(b)=b

，即

1 2 -1+a=1 1 2 b2-b+a=b

即

a= 3 2 b=1，或3

又b＞1，故有a=

3

2

，b=3
符合題設(shè)條件的a，b的值為 a=

3

2

，b=3．

點評：本題的考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查利用二次函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求參數(shù)，此類題是函數(shù)單調(diào)性運用的一個常見題型，本題有可能因不嚴謹致錯，如解題中忘記考慮b＞1這一條件，致使出現(xiàn)二個結(jié)果．